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[email protected]是使用通過互聯網連接的電腦一個數論方面的研究項目。


如何加入項目

該項目基于 BOINC 平臺,簡要的加入步驟如下(已完成的步驟可直接跳過):

  1. 下載并安裝 BOINC 的客戶端軟件(官方下載頁面程序下載
  2. 點擊客戶端簡易視圖下的“Add Project”按鈕,或高級視圖下菜單中的“工具->加入項目”,將顯示向導對話框
  3. 點擊下一步后在項目列表中找到并單擊選中 [email protected] 項目(如未顯示該項目,則在編輯框中輸入項目網址:http://numberfields.asu.edu/NumberFields/ ),然后點擊下一步
  4. 輸入您可用的電子郵件地址,并設置您在該項目的登錄密碼(并非您的電子郵件密碼)
  5. 再次點擊下一步,如項目服務器工作正常(并且有適合自身操作系統的計算程序),即已成功加入項目

更詳細的加入方法說明,請訪問 BOINC 新手指南BOINC 使用教程

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項目目的

域是一種重要的數學結構,它在數學的許多分支有著影響深遠的應用。很多人對有理數域,實數域和復數域都頗為熟悉。在這個項目中,我們主要研究的是有理數域的有限擴張。更準確地說,是次數為十的域(或稱十次數域)。擴張次數更低的域需要的計算資源更少,而我們已經有一張記錄它們的表。十次數域是第一種需要高度并行計算的情況,而這正是這個BOINC項目存在的理由。

對數域分類的一種方法是按照其中的分歧素數來分類。對于一個給定的素數集合,以這些素數為分歧素數的數域只有有限個。本項目的主要目的就是找到不同分歧素數集合對應的數域。由于素數集合永無止盡,在可以預見的將來,本項目一直會有工作。

另一種分類的方法是根據它們的判別式分類。判別式是數域中非常重要的一個不變量。給定一個上界B,判別式小于這個上界的數域是有限的。本項目的次要目的就是確定判別式小于B=1.2*10^11的非本原十次數域的完整列表。我們選擇這個上界是為了平衡能找到的數域個數與所需計算量。

項目應用

密碼學

數域在數論的方方面面都有用途,其中包括在密碼學中的直接應用。例如,在與RSA密碼算法有關的大數分解算法中就用到了數域(指數域篩法,number field sieve)。

自守形式

自守形式理論在數學中是個重要的題目。它將模形式從單變量復函數推廣到多變量的情況。自守形式與擁有某些特殊分歧性質的有限域擴張有著深刻的聯系。比如說,Calegari在研究Q(i)上的自守形式時,希望能證明不存在某種特定的自守形式。這個問題可以轉化為關于數域的問題,給出以下的猜想:

Calegari猜想:

  • 不存在Q(i)的五次域擴張L,使得:
  1. L的伽羅華閉包與Q(i)的商的伽羅華群是交錯群A_5
  2. L的分歧素數不包含2和5以外的素數
  3. L的判別式整除2^14*5^15

利用Q(i)的十次數域表,我們證明Calegari猜想是正確的。(備注:雖然項目仍然在搜索Q(i)上的十次數域,但Calegari猜想中對判別式的界足夠小,之前的搜索足以確定它的正確性)

伽羅華理論

項目搜索到的數域可以進一步按照它們的伽羅華群分類。如果有足夠大的數域列表,我們能對不同伽羅華群的分布進行猜想。對于列表中的每個數域,我們也可以計算它們的伽羅華根判別式(GRD),這對于研究低GRD數域的數學家很有用處。

理論物理學

本項目研究的數域與p進域有聯系。在最近,p進分析被應用到理論物理的一些問題上,比如說量子力學與弦論。這里有一個對相關概念的介紹。現在要說我們的列表對于物理學家來說有什么用處,仍然為時尚早;我們仍然在探索未知的領域。

算法細節

域的有限擴張可以用多項式表示,它們可以表示為Q(a),其中a是某個多項式的根。域的判別式能給出多項式系數的界,所以我們的搜索只需要處理有限個多項式。粗略地說,我們的算法遍歷所有可能的多項式,檢查它們是否表示了一個符合我們要求的數域。更進一步地說,我們的算法用了一些復雜的數學論證來減小搜索空間。另外,指定的分歧結構也會給出多項式系數的一些同余關系,這也可以減小搜索空間。對算法有興趣的人可以查看博士論文